$x$ が $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ を満たすとき、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ の和を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ が $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ を満たすとき、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ の和を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数は、初項が 1 で公比が $2x$ の等比級数です。等比級数の和が収束するためには、公比の絶対値が 1 より小さくなければなりません。つまり、 $|2x| < 1$ である必要があります。これは $|x| < \frac{1}{2}$ と同値であり、問題の条件 $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ を満たしています。

無限等比級数の和は、初項を $a$、公比を $r$ とすると、 $|r| < 1$ のとき、

$$S = \frac{a}{1 - r}$$

で与えられます。

この問題では、$a = 1$ であり、$r = 2x$ です。したがって、無限等比級数の和は

$$S = \frac{1}{1 - 2x}$$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1 - 2x}$