(1) $\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$ を $\Sigma$ を用いずに各項を書き並べて表す。 (2) $\sum_{k=3}^{6} (k+5)$ を $\Sigma$ を用いずに各項を書き並べて表す。

1. 問題の内容

(1) $\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$ を $\Sigma$ を用いずに各項を書き並べて表す。

(2) $\sum_{k=3}^{6} (k+5)$ を $\Sigma$ を用いずに各項を書き並べて表す。

2. 解き方の手順

(1) $k=1, 2, 3, \dots, n$ を $2^{k-1}$ に代入して足し合わせる。

$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = 2^{1-1} + 2^{2-1} + 2^{3-1} + \dots + 2^{n-1}$

$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = 2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}$

$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1}$

(2) $k=3, 4, 5, 6$ を $(k+5)$ に代入して足し合わせる。

$\sum_{k=3}^{6} (k+5) = (3+5) + (4+5) + (5+5) + (6+5)$

$\sum_{k=3}^{6} (k+5) = 8 + 9 + 10 + 11$

3. 最終的な答え

(1) $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1}$

(2) $8 + 9 + 10 + 11$