与えられた数列の和を、シグマ記号（$\sum$）を用いずに、各項を書き並べて表す問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (3k+2)$ (2) $\sum_{k=5}^{8} (k+1)(k+2)$

1. 問題の内容

与えられた数列の和を、シグマ記号（$\sum$）を用いずに、各項を書き並べて表す問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (3k+2)$

(2) $\sum_{k=5}^{8} (k+1)(k+2)$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} (3k+2)$ について

シグマ記号は、k=1からk=nまでの各式を足し合わせることを意味します。したがって、kに1からnまでの整数を順番に代入し、それらを足し合わせます。

$k=1$のとき、$3(1) + 2 = 5$

$k=2$のとき、$3(2) + 2 = 8$

$k=3$のとき、$3(3) + 2 = 11$

...

$k=n$のとき、$3(n) + 2 = 3n + 2$

したがって、$\sum_{k=1}^{n} (3k+2) = 5 + 8 + 11 + \dots + (3n+2)$

(2) $\sum_{k=5}^{8} (k+1)(k+2)$ について

同様に、kに5から8までの整数を順番に代入し、それらを足し合わせます。

$k=5$のとき、$(5+1)(5+2) = 6 \times 7 = 42$

$k=6$のとき、$(6+1)(6+2) = 7 \times 8 = 56$

$k=7$のとき、$(7+1)(7+2) = 8 \times 9 = 72$

$k=8$のとき、$(8+1)(8+2) = 9 \times 10 = 90$

したがって、$\sum_{k=5}^{8} (k+1)(k+2) = 42 + 56 + 72 + 90$

3. 最終的な答え

(1) $5 + 8 + 11 + \dots + (3n+2)$

(2) $42 + 56 + 72 + 90$