2直線 $x=2$ と $y=-1$ を漸近線とし、点 $(3, 2)$ を通る双曲線をグラフとする関数を $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す。

1. 問題の内容

2直線 $x=2$ と $y=-1$ を漸近線とし、点 $(3, 2)$ を通る双曲線をグラフとする関数を $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す。

2. 解き方の手順

まず、漸近線が $x=2$ であることから、$cx+d=0$ となる $x$ の値が2である必要があります。つまり、$x=2$ が分母を0にするので、

$c(2) + d = 0$

$2c + d = 0$

$d = -2c$

したがって、$y = \frac{ax+b}{cx-2c} = \frac{ax+b}{c(x-2)}$ と書けます。

次に、漸近線が $y=-1$ であることから、$x$ を無限大に近づけたとき、$y$ が -1 に近づく必要があります。

$y = \frac{ax+b}{cx-2c} = \frac{a/c + b/x}{c/c - 2c/x} = \frac{a/c + b/x}{1 - 2/x}$

$x \to \infty$ のとき、$y \to \frac{a}{c}$ となるので、$\frac{a}{c} = -1$

$a = -c$

したがって、$y = \frac{-cx+b}{c(x-2)}$ と書けます。

最後に、点 $(3, 2)$ を通ることから、$x=3, y=2$ を代入します。

$2 = \frac{-c(3)+b}{c(3-2)}$

$2 = \frac{-3c+b}{c}$

$2c = -3c + b$

$5c = b$

したがって、$y = \frac{-cx+5c}{c(x-2)} = \frac{-x+5}{x-2}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{-x+5}{x-2}$