与えられた4つの式を展開する問題です。 (1) $(x+3)(x^2 - 3x + 9)$ (2) $(x-1)(x^2 + x + 1)$ (3) $(2a-5b)(4a^2 + 10ab + 25b^2)$ (4) $(3x+4y)(9x^2 - 12xy + 16y^2)$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を展開する問題です。

(1) $(x+3)(x^2 - 3x + 9)$

(2) $(x-1)(x^2 + x + 1)$

(3) $(2a-5b)(4a^2 + 10ab + 25b^2)$

(4) $(3x+4y)(9x^2 - 12xy + 16y^2)$

2. 解き方の手順

これらの式は、展開の公式

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

を利用して展開できます。

(1) $a = x$, $b = 3$ とすると、$a^3 + b^3 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)$ の形になります。

したがって、

$(x+3)(x^2 - 3x + 9) = x^3 + 3^3 = x^3 + 27$

(2) $a = x$, $b = 1$ とすると、$a^3 - b^3 = (x-1)(x^2 + x + 1)$ の形になります。

したがって、

$(x-1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1^3 = x^3 - 1$

(3) $a = 2a$, $b = 5b$ とすると、$a^3 - b^3 = (2a-5b)((2a)^2 + (2a)(5b) + (5b)^2) = (2a-5b)(4a^2 + 10ab + 25b^2)$ の形になります。

したがって、

$(2a-5b)(4a^2 + 10ab + 25b^2) = (2a)^3 - (5b)^3 = 8a^3 - 125b^3$

(4) $a = 3x$, $b = 4y$ とすると、$a^3 + b^3 = (3x+4y)((3x)^2 - (3x)(4y) + (4y)^2) = (3x+4y)(9x^2 - 12xy + 16y^2)$ の形になります。

したがって、

$(3x+4y)(9x^2 - 12xy + 16y^2) = (3x)^3 + (4y)^3 = 27x^3 + 64y^3$

3. 最終的な答え

(1) $x^3 + 27$

(2) $x^3 - 1$

(3) $8a^3 - 125b^3$

(4) $27x^3 + 64y^3$