与えられた画像には、複数の数学の問題が含まれています。これらの問題は、不等式の解、因数分解、集合、二次関数のグラフの変換、四角形の面積、データの分析、順列に関するものです。具体的には、以下の問題を解きます。 (1) 不等式 $|x-1| - 2 \leq 3$ の解を求める。 (3) 全体集合 $U = \{x | x は整数, 1 \leq x \leq 10 \}$ と、その部分集合 $A = \{1, 3, 4, 6, 8\}$ と $B = \{2, 3, 7, 8, 10\}$ が与えられたとき、$A \cap B$ の要素の個数を求める。 (5) 円に内接する四角形ABCDがあり、$AB=2, BC=2, CD=3, DA=4$のとき、四角形ABCDの面積を求める。 (7) AABBBXYの7文字を、Xが常にYの左側にあるように並べる並べ方の総数を求める。

1. 問題の内容

与えられた画像には、複数の数学の問題が含まれています。これらの問題は、不等式の解、因数分解、集合、二次関数のグラフの変換、四角形の面積、データの分析、順列に関するものです。具体的には、以下の問題を解きます。

(1) 不等式 $|x-1| - 2 \leq 3$ の解を求める。

(3) 全体集合 $U = \{x | x は整数, 1 \leq x \leq 10 \}$ と、その部分集合 $A = \{1, 3, 4, 6, 8\}$ と $B = \{2, 3, 7, 8, 10\}$ が与えられたとき、$A \cap B$ の要素の個数を求める。

(5) 円に内接する四角形ABCDがあり、$AB=2, BC=2, CD=3, DA=4$のとき、四角形ABCDの面積を求める。

(7) AABBBXYの7文字を、Xが常にYの左側にあるように並べる並べ方の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $|x-1| - 2 \leq 3$ を解く。

まず、不等式を整理すると、 $|x-1| \leq 5$ となります。

これは $-5 \leq x-1 \leq 5$ と同値です。

各辺に1を加えると、 $-4 \leq x \leq 6$ となります。

したがって、① は -4 で、② は 6 です。

(3) 集合 $A \cap B$ の要素の個数を求める。

$A = \{1, 3, 4, 6, 8\}$ と $B = \{2, 3, 7, 8, 10\}$ の共通部分を求める。

$A \cap B = \{3, 8\}$ であるから、要素の個数は2個である。

したがって、⑦ は 2 です。

(5) 円に内接する四角形ABCDの面積を求める。

$AB=2, BC=2, CD=3, DA=4$である。

トレミーの定理より、$AC \times BD = AB \times CD + BC \times DA = 2 \times 3 + 2 \times 4 = 6 + 8 = 14$

ブラーマグプタの公式を使うと、

$s = (2+2+3+4)/2 = 11/2$

$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} = \sqrt{(11/2 - 2)(11/2 - 2)(11/2 - 3)(11/2 - 4)} = \sqrt{(7/2)(7/2)(5/2)(3/2)} = \sqrt{735/16} = \frac{\sqrt{735}}{4} = \frac{\sqrt{49 \times 15}}{4} = \frac{7\sqrt{15}}{4}$

したがって、⑪ は 7, ⑫ は 1, ⑬ は 5, ⑭ は 4 です。

(7) AABBBXYの7文字を、Xが常にYの左側にあるように並べる並べ方の総数を求める。

まず、AABBBXXYの8文字を並べる総数は $\frac{8!}{2!3!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{2 \times 2} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$ 通り。

しかし、ここでは7文字なので、まずXY以外のAABBBを並べる。$\frac{5!}{2!3!} = \frac{5\times4}{2} = 10$ 通り。

XYの並び方はXY, _X_Y_ , _ _XY, ...とXYの場所に分けて考える。

７つの並びの中で、X,Yの場所の組み合わせは、${7 \choose 2} = 21$通り。XYの位置関係がXが必ず左にあるので、21通りすべてが条件を満たす。

残りの５つの場所に、AABBBを並べる。並べ方は $\frac{5!}{2!3!} = \frac{5\times4}{2}=10$通り。

よって、21 * 10 = 210通り。

3. 最終的な答え

(1) -4 ≤ x ≤ 6

(3) 2

(5) $\frac{7\sqrt{15}}{4}$

(7) 210