$y$軸と直線$y = -1$を漸近線とし、点$(1, 2)$を通る双曲線をグラフとする関数を $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ の形で表す。

1. 問題の内容

$y$軸と直線$y = -1$を漸近線とし、点$(1, 2)$を通る双曲線をグラフとする関数を $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ の形で表す。

2. 解き方の手順

まず、$y$軸が漸近線であることから、$cx+d = 0$ の解は $x=0$ である必要がある。つまり、$d=0$。

次に、直線$y = -1$が漸近線であることから、$\frac{a}{c} = -1$。したがって、$a = -c$。

これらより、関数は $y = \frac{-cx + b}{cx}$ となる。

さらに、点$(1, 2)$を通るので、この点を代入すると、

$2 = \frac{-c + b}{c}$

$2c = -c + b$

$b = 3c$

したがって、関数は $y = \frac{-cx + 3c}{cx}$ となり、さらに$c$で割ると、$y = \frac{-x + 3}{x}$ となる。

3. 最終的な答え

$y = \frac{-x + 3}{x}$