関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数 $f(f(x))$ を計算します。

$f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ なので、

$f(f(x)) = f(\frac{3x+2}{x+a}) = \frac{3(\frac{3x+2}{x+a})+2}{\frac{3x+2}{x+a}+a}$

となります。

次に、この式を整理します。分子と分母に $x+a$ をかけます。

$f(f(x)) = \frac{3(3x+2)+2(x+a)}{3x+2+a(x+a)} = \frac{9x+6+2x+2a}{3x+2+ax+a^2} = \frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2}$

問題文より、$f(f(x)) = x$ なので、

$\frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2} = x$

両辺に $(3+a)x+2+a^2$ をかけます。

$11x+6+2a = x((3+a)x+2+a^2)$

$11x+6+2a = (3+a)x^2+(2+a^2)x$

これが全ての $x$ について成り立つためには、 $x^2$ の係数が0でなければなりません。したがって、 $3+a=0$ となります。 よって、$a=-3$となります。

$a=-3$を代入して、$11x+6-6 = (2+9)x = 11x$

$11x = 11x$となるので、$a=-3$は条件を満たします。

3. 最終的な答え

$a = -3$