$x$ が $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ を満たす実数のとき、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ の和を求めます。

1. 問題の内容

$x$ が $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ を満たす実数のとき、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ の和を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた級数は、初項が $1$ で、公比が $2x$ の等比級数です。

等比級数の和の公式は、初項を $a$、公比を $r$ とすると、

$$S = \frac{a}{1-r}$$

で与えられます。

この公式が成り立つのは、$|r| < 1$ のときです。

問題文の条件から、$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ なので、

$-1 < 2x < 1$ が成り立ちます。

したがって、$|2x| < 1$ なので、等比級数の和の公式が適用できます。

初項 $a = 1$、公比 $r = 2x$ を上記の公式に代入すると、

$$S = \frac{1}{1 - 2x}$$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1 - 2x}$