$f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ を $f(x) = x^2$ で定義する。 $T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\}$ とする。 このとき、$f^{-1}(T_1)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ を $f(x) = x^2$ で定義する。

$T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\}$ とする。

このとき、$f^{-1}(T_1)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$f^{-1}(T_1)$ は、$f(x) \in T_1$ となるような $x$ 全体の集合である。

すなわち、$x^2 \in T_1$ となる $x$ を求める。

$x^2 \in T_1$ は、$f(x) = x^2$ が $T_1$ に含まれることなので、$(x^2)^2 > 8$ である。

$x^2 > 8$ より、$x \in T_1$ となる $x$ は、$x$ が整数であることから、$x \ge 3$ または $x \le -3$ である。

したがって、$T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \ge 3 \text{ or } x \le -3\} = \{\dots, -4, -3, 3, 4, \dots\}$ である。

$f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid f(x) \in T_1\} = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \in T_1\} = \{x \in \mathbb{Z} \mid (x^2)^2 > 8 \} = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^4 > 8\}$ となる。

$x$ は整数なので、$x^2 > \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$ より、$x^2 \ge 3$。したがって、$x \ge \sqrt{3} \approx 1.73$ または $x \le -\sqrt{3} \approx -1.73$ である。

$x$ は整数であることから、$x \ge 2$ または $x \le -2$。

したがって、$f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\} = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \ge 3 \text{ or } x \le -3\} = \{\dots, -4, -3, 3, 4, \dots\}$ であるとき、$x^2 \in T_1$ となる整数 $x$ を考える。

$x^2 > 8$ となる $x$ を求めればよい。$x^2 > 8$ より、$x > \sqrt{8} \approx 2.83$ または $x < -\sqrt{8} \approx -2.83$。

整数 $x$ について、$x \ge 3$ または $x \le -3$ である。

したがって、$f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \ge 3 \text{ or } x \le -3\} = \{\dots, -4, -3, 3, 4, \dots\}$ となる。

これを書き換えると、$f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| \ge 3 \}$ となる。

3. 最終的な答え

$f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| \ge 3 \}$

または

$f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \le -3 \text{ または } x \ge 3 \}$

または

$f^{-1}(T_1) = \{..., -4, -3, 3, 4, ...\}$