整数全体の集合 $Z$ から $Z$ への写像 $f(x) = x^2$ が与えられ、$T_1 = \{ x \in Z \mid x^2 > 8 \}$ と定義されている。このとき、$f^{-1}(T_1)$ を求めよ。つまり、$T_1$ の逆像を求める問題である。

1. 問題の内容

整数全体の集合 $Z$ から $Z$ への写像 $f(x) = x^2$ が与えられ、$T_1 = \{ x \in Z \mid x^2 > 8 \}$ と定義されている。このとき、$f^{-1}(T_1)$ を求めよ。つまり、$T_1$ の逆像を求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、$f^{-1}(T_1)$ の定義を確認する。

$f^{-1}(T_1) = \{ x \in Z \mid f(x) \in T_1 \}$ である。

$f(x) = x^2$ であり、$T_1 = \{ x \in Z \mid x^2 > 8 \}$ であるから、$f^{-1}(T_1) = \{ x \in Z \mid x^2 \in T_1 \} = \{ x \in Z \mid (x^2)^2 > 8 \}$ ではない。 $f^{-1}(T_1) = \{ x \in Z \mid f(x) \in T_1 \} = \{ x \in Z \mid x^2 > 8 \}$ である。

$x$ は整数であるから、$x^2$ が整数で、$x^2 > 8$ となるような $x$ を探す。

$x^2 > 8$ より、$x > \sqrt{8}$ または $x < -\sqrt{8}$ となる。

$\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$ である。

したがって、$x > 2.828$ または $x < -2.828$ となる整数 $x$ を探せば良い。

$x$ が整数のとき、$x \ge 3$ または $x \le -3$ となる。

よって、$f^{-1}(T_1) = \{ x \in Z \mid x \ge 3 \text{ or } x \le -3 \} = \{ \dots, -4, -3, 3, 4, \dots \}$

これは、$Z \setminus \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ と表せる。

3. 最終的な答え

$f^{-1}(T_1) = \{ x \in Z \mid x \le -3 \text{ or } x \ge 3 \} = Z \setminus \{-2, -1, 0, 1, 2\}$