連立方程式 $\begin{cases} ax + 3y = 9 \\ 4x + by = 19 \end{cases}$ について、Pは$a$を間違えたため解が$x=-\frac{3}{2}$, $y=5$となり、Qは$b$を間違えたため解が$x=5$, $y=-\frac{1}{3}$となった。正しい解を求めよ。

1. 問題の内容

連立方程式

$\begin{cases}

ax + 3y = 9 \\

4x + by = 19

\end{cases}$

について、Pは$a$を間違えたため解が$x=-\frac{3}{2}$, $y=5$となり、Qは$b$を間違えたため解が$x=5$, $y=-\frac{1}{3}$となった。正しい解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、Pは$a$を間違えたので、$b$は正しく、解$x=-\frac{3}{2}$, $y=5$は、$4x + by = 19$を満たす。

よって、

$4(-\frac{3}{2}) + b(5) = 19$

$-6 + 5b = 19$

$5b = 25$

$b = 5$

次に、Qは$b$を間違えたので、$a$は正しく、解$x=5$, $y=-\frac{1}{3}$は、$ax + 3y = 9$を満たす。

よって、

$a(5) + 3(-\frac{1}{3}) = 9$

$5a - 1 = 9$

$5a = 10$

$a = 2$

正しい連立方程式は

$\begin{cases}

2x + 3y = 9 \\

4x + 5y = 19

\end{cases}$

この連立方程式を解く。

まず、上の式を2倍して

$4x + 6y = 18$

下の式から引くと

$(4x + 6y) - (4x + 5y) = 18 - 19$

$y = -1$

$2x + 3(-1) = 9$

$2x - 3 = 9$

$2x = 12$

$x = 6$

3. 最終的な答え

$x = 6$, $y = -1$