写像 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, x \mapsto x^2$ と集合 $T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\}$ が与えられています。このとき、$f^{-1}(T_1^c)$ を求める問題です。ここで、$T_1^c$ は $T_1$ の補集合を表します。

1. 問題の内容

写像 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, x \mapsto x^2$ と集合 $T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\}$ が与えられています。このとき、$f^{-1}(T_1^c)$ を求める問題です。ここで、$T_1^c$ は $T_1$ の補集合を表します。

2. 解き方の手順

まず、$T_1^c$ を求めます。$T = \mathbb{Z}$ なので、$T_1^c = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \le 8\}$ となります。

したがって、$T_1^c = \{x \in \mathbb{Z} \mid -\sqrt{8} \le x \le \sqrt{8}\}$ となります。$\mathbb{Z}$ における整数を考えると、$T_1^c = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ となります。ただし、$x^2 \leq 8$ より、$x^2 \in \{0, 1, 4 \}$なので、正しくは、$T_1^c = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$になります。

次に、$f^{-1}(T_1^c)$ を求めます。これは、$f(x) \in T_1^c$ となるような $x \in \mathbb{Z}$ の集合です。つまり、$f^{-1}(T_1^c) = \{x \in \mathbb{Z} \mid f(x) \in T_1^c\} = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \in T_1^c\}$ です。

$T_1^c$ は $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ となるので、

$f^{-1}(T_1^c) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}\}$。

しかし、整数 $x$ に対して、$x^2$ は必ず非負であることに注意する必要があります。また、$x^2 = -1$や$x^2=-2$となる整数は存在しないため、$x^2$が$0, 1, 2$になる場合のみを考えれば良いです。

$x^2 = 0$ となるのは $x = 0$ のとき。

$x^2 = 1$ となるのは $x = 1, -1$ のとき。

$x^2 = 2$ となる整数 $x$ は存在しません。

したがって、$f^{-1}(T_1^c) = \{-1, 0, 1\}$ となります。

3. 最終的な答え

$f^{-1}(T_1^c) = \{-1, 0, 1\}$