以下の連立方程式の解が $x = 4$, $y = -3$ のとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。 $$ \begin{cases} \frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 3 \\ \frac{3x}{a} + \frac{2y}{b} = 4 \end{cases} $$

1. 問題の内容

以下の連立方程式の解が $x = 4$, $y = -3$ のとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

$$$$

\begin{cases}

\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 3 \\

\frac{3x}{a} + \frac{2y}{b} = 4

\end{cases}

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2. 解き方の手順

まず、連立方程式に $x = 4$ と $y = -3$ を代入する。

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\begin{cases}

\frac{4}{a} - \frac{-3}{b} = 3 \\

\frac{3 \cdot 4}{a} + \frac{2 \cdot (-3)}{b} = 4

\end{cases}

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これを整理すると、

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\begin{cases}

\frac{4}{a} + \frac{3}{b} = 3 \\

\frac{12}{a} - \frac{6}{b} = 4

\end{cases}

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ここで、$X = \frac{1}{a}$, $Y = \frac{1}{b}$ とおく。すると、連立方程式は以下のようになる。

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\begin{cases}

4X + 3Y = 3 \\

12X - 6Y = 4

\end{cases}

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1つ目の式を3倍すると

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12X + 9Y = 9

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この式から2つ目の式を引くと

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(12X + 9Y) - (12X - 6Y) = 9 - 4 \\

15Y = 5 \\

Y = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}

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$Y = \frac{1}{3}$ を $4X + 3Y = 3$ に代入すると

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4X + 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \\

4X + 1 = 3 \\

4X = 2 \\

X = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

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したがって、$X = \frac{1}{2}$ かつ $Y = \frac{1}{3}$ である。

$X = \frac{1}{a}$ より、$a = \frac{1}{X} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

$Y = \frac{1}{b}$ より、$b = \frac{1}{Y} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 3$