与えられた不等式 $(a+1)x \le a^2 - 1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $(a+1)x \le a^2 - 1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a^2 - 1$ を因数分解します。

$a^2 - 1 = (a+1)(a-1)$

与えられた不等式は、

$(a+1)x \le (a+1)(a-1)$

となります。

$a+1$ の符号によって場合分けを行います。

(i) $a+1 > 0$、つまり $a > -1$ のとき、不等式の両辺を $a+1$ で割ると、

$x \le a-1$

(ii) $a+1 < 0$、つまり $a < -1$ のとき、不等式の両辺を $a+1$ で割ると、不等号の向きが変わります。

$x \ge a-1$

(iii) $a+1 = 0$、つまり $a = -1$ のとき、与えられた不等式は

$0 \cdot x \le (-1)^2 - 1$

$0 \le 0$

これは常に成り立つので、$x$ はすべての実数となります。

3. 最終的な答え

(i) $a > -1$ のとき、$x \le a-1$

(ii) $a < -1$ のとき、$x \ge a-1$

(iii) $a = -1$ のとき、$x$ はすべての実数