与えられた複数の式の計算問題を解く。具体的には、根号を含む式の加減乗除や展開、平方根の簡約化などを行う。

1. 問題の内容

与えられた複数の式の計算問題を解く。具体的には、根号を含む式の加減乗除や展開、平方根の簡約化などを行う。

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で計算する。

(1) $4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 7\sqrt{3}$:

係数を計算する: $4 + 5 - 7 = 2$。したがって、$2\sqrt{3}$となる。

(2) $3\sqrt{50} - 4\sqrt{18} + \sqrt{32}$:

それぞれの根号の中身を素因数分解し、根号の外に出せるものを出す。

$\sqrt{50} = \sqrt{2 \cdot 5^2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{18} = \sqrt{2 \cdot 3^2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{32} = \sqrt{2^5} = \sqrt{2^4 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

よって、

$3\sqrt{50} - 4\sqrt{18} + \sqrt{32} = 3(5\sqrt{2}) - 4(3\sqrt{2}) + 4\sqrt{2} = 15\sqrt{2} - 12\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = (15 - 12 + 4)\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$

(3) $(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2)$:

これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形なので、$(\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3$

(4) $(4 - 3\sqrt{2})(5 + 2\sqrt{2})$:

展開する: $4 \cdot 5 + 4 \cdot 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \cdot 5 - 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 20 + 8\sqrt{2} - 15\sqrt{2} - 6 \cdot 2 = 20 - 12 + (8 - 15)\sqrt{2} = 8 - 7\sqrt{2}$

(5) $(\sqrt{3} + 2\sqrt{6})^2$:

$(\sqrt{3} + 2\sqrt{6})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} + (2\sqrt{6})^2 = 3 + 4\sqrt{18} + 4 \cdot 6 = 3 + 4 \cdot 3\sqrt{2} + 24 = 27 + 12\sqrt{2}$

(6) $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{7})^2$:

$(3\sqrt{2} - 2\sqrt{7})^2 = (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{7} + (2\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 2 - 12\sqrt{14} + 4 \cdot 7 = 18 - 12\sqrt{14} + 28 = 46 - 12\sqrt{14}$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{3}$

(2) $7\sqrt{2}$

(3) $3$

(4) $8 - 7\sqrt{2}$

(5) $27 + 12\sqrt{2}$

(6) $46 - 12\sqrt{14}$