整数全体 $Z$ を定義域とする関数 $f(x) = x^2$ と、集合 $T_1 = \{x \in Z \mid x^2 > 8\}$ が与えられている。このとき、 $f^{-1}(T_1)$ の補集合 $(f^{-1}(T_1))^c$ を求める。

1. 問題の内容

整数全体 $Z$ を定義域とする関数 $f(x) = x^2$ と、集合 $T_1 = \{x \in Z \mid x^2 > 8\}$ が与えられている。このとき、 $f^{-1}(T_1)$ の補集合 $(f^{-1}(T_1))^c$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f^{-1}(T_1)$ を求める。$f^{-1}(T_1)$ は、$f(x) = x^2$ が $T_1$ に含まれるような $x$ の集合、つまり、$x^2 > 8$ を満たす $x$ の集合である。具体的には、

$f^{-1}(T_1) = \{x \in Z \mid f(x) \in T_1\} = \{x \in Z \mid x^2 > 8\}$ である。

次に、$f^{-1}(T_1)$ の補集合 $(f^{-1}(T_1))^c$ を求める。これは、$f^{-1}(T_1)$ に含まれない $Z$ の要素の集合である。つまり、$x^2 \leq 8$ を満たす $x$ の集合である。

$x^2 \leq 8$ を満たす整数 $x$ は、$-2 \leq x \leq 2$ の範囲にある。具体的には、 $x = -2, -1, 0, 1, 2$。したがって、$x$は $-2,-1,0,1,2$ではない。

$x^2 \leq 8$ となる整数$x$は、$-2 \leq x \leq 2$ つまり$x \in \{-2,-1,0,1,2\}$となる。

整数全体からこの集合を引けばよい。

よって、$(f^{-1}(T_1))^c = \{x \in Z \mid x^2 \leq 8\} = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ となる。

3. 最終的な答え

$(f^{-1}(T_1))^c = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$