$f(x) = e^x$ について、導関数の定義に従って、$f'(x) = e^x$ を証明する問題です。空白を埋める形式になっています。

1. 問題の内容

$f(x) = e^x$ について、導関数の定義に従って、$f'(x) = e^x$ を証明する問題です。空白を埋める形式になっています。

2. 解き方の手順

まず、導関数の定義式を書きます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$f(x) = e^x$ なので、$f(x+h) = e^{x+h}$ です。これを定義式に代入します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}$

指数法則 $e^{x+h} = e^x \cdot e^h$ を用いて変形します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^x \cdot e^h - e^x}{h}$

$e^x$ を括り出します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^x (e^h - 1)}{h}$

$e^x$ は $h$ に依存しないので、lim の外に出せます。

$f'(x) = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$

$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ であることが知られています。これを用いると、

$f'(x) = e^x \cdot 1 = e^x$

したがって、$f'(x) = e^x$ が証明されました。

ア：$e^{x+h}$

イ：$e^x e^h$

ウ：$e^h - 1$

3. 最終的な答え

ア：$e^{x+h}$

イ：$e^x e^h$

ウ：$e^h - 1$