関数 $f(x) = e^x$ について、導関数の定義にしたがって $f'(x) = e^x$ を証明する問題です。導関数の定義は以下の通りです。 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^x$ について、導関数の定義にしたがって $f'(x) = e^x$ を証明する問題です。導関数の定義は以下の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = e^x$ を導関数の定義に代入します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}$

次に、$e^{x+h}$ を $e^x \cdot e^h$ と変形します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h}$

$e^x$ で括り出します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^x (e^h - 1)}{h}$

$e^x$ は $h$ に依存しないので、極限の外に出せます。

$f'(x) = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ という極限の公式を使います。

したがって、$f'(x) = e^x \cdot 1 = e^x$ となります。

ア: $e^{x+h}$

イ: $e^h$

ウ: $e^h - 1$

エ: 1

3. 最終的な答え

$f'(x) = e^x$