関数 $f(x) = e^x$ について、導関数の定義を用いて $f'(x) = e^x$ を証明する問題です。具体的には、以下の極限を計算する穴埋め問題です。 $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^x$ について、導関数の定義を用いて $f'(x) = e^x$ を証明する問題です。具体的には、以下の極限を計算する穴埋め問題です。

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = e^x$ を導関数の定義に代入します。

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}$$

指数法則 $e^{x+h} = e^x e^h$ を用いると、以下のようになります。

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h}$$

$e^x$ で括り出すと、

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^x (e^h - 1)}{h}$$

$e^x$ は $h$ に依存しないので、極限の外に出すことができます。

$$f'(x) = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$$

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ であることが知られています。

したがって、

$$f'(x) = e^x \cdot 1 = e^x$$

アに入るのは $e^{x+h}$

イに入るのは $e^x e^h$

ウに入るのは $e^h-1$

3. 最終的な答え

ア：$e^{x+h}$

イ：$e^x e^h$

ウ：$e^h-1$

最終的な答えは $f'(x) = e^x$ となります。