与えられた関数 a) $f(x) = \sin(2x)$, b) $f(x) = \log(1+x)$, c) $f(x) = c^{2x}$, d) $f(x) = 2^x$ のマクローリン展開を、$n=3$ の項まで求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 a) $f(x) = \sin(2x)$, b) $f(x) = \log(1+x)$, c) $f(x) = c^{2x}$, d) $f(x) = 2^x$ のマクローリン展開を、$n=3$ の項まで求めよ。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開したものである。すなわち、

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$$

今回は、$x^3$ の項まで求める。

a) $f(x) = \sin(2x)$ の場合

$f(0) = \sin(0) = 0$

$f'(x) = 2\cos(2x)$, $f'(0) = 2\cos(0) = 2$

$f''(x) = -4\sin(2x)$, $f''(0) = -4\sin(0) = 0$

$f'''(x) = -8\cos(2x)$, $f'''(0) = -8\cos(0) = -8$

よって、$f(x) = 0 + 2x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-8}{3!}x^3 + \dots = 2x - \frac{4}{3}x^3 + \dots$

b) $f(x) = \log(1+x)$ の場合

$f(0) = \log(1) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$, $f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$, $f''(0) = -\frac{1}{(1+0)^2} = -1$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$, $f'''(0) = \frac{2}{(1+0)^3} = 2$

よって、$f(x) = 0 + 1x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3 + \dots = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \dots$

c) $f(x) = c^{2x}$ の場合（$c$ は定数）

$f(0) = c^0 = 1$

$f'(x) = 2\ln(c) c^{2x}$, $f'(0) = 2\ln(c) c^0 = 2\ln(c)$

$f''(x) = 4(\ln(c))^2 c^{2x}$, $f''(0) = 4(\ln(c))^2 c^0 = 4(\ln(c))^2$

$f'''(x) = 8(\ln(c))^3 c^{2x}$, $f'''(0) = 8(\ln(c))^3 c^0 = 8(\ln(c))^3$

よって、$f(x) = 1 + 2\ln(c) x + \frac{4(\ln(c))^2}{2!}x^2 + \frac{8(\ln(c))^3}{3!}x^3 + \dots = 1 + 2\ln(c) x + 2(\ln(c))^2 x^2 + \frac{4}{3}(\ln(c))^3 x^3 + \dots$

d) $f(x) = 2^x$ の場合

$f(0) = 2^0 = 1$

$f'(x) = \ln(2) 2^x$, $f'(0) = \ln(2) 2^0 = \ln(2)$

$f''(x) = (\ln(2))^2 2^x$, $f''(0) = (\ln(2))^2 2^0 = (\ln(2))^2$

$f'''(x) = (\ln(2))^3 2^x$, $f'''(0) = (\ln(2))^3 2^0 = (\ln(2))^3$

よって、$f(x) = 1 + \ln(2) x + \frac{(\ln(2))^2}{2!}x^2 + \frac{(\ln(2))^3}{3!}x^3 + \dots = 1 + \ln(2) x + \frac{(\ln(2))^2}{2} x^2 + \frac{(\ln(2))^3}{6} x^3 + \dots$

3. 最終的な答え

a) $2x - \frac{4}{3}x^3 + \dots$

b) $x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \dots$

c) $1 + 2\ln(c) x + 2(\ln(c))^2 x^2 + \frac{4}{3}(\ln(c))^3 x^3 + \dots$

d) $1 + \ln(2) x + \frac{(\ln(2))^2}{2} x^2 + \frac{(\ln(2))^3}{6} x^3 + \dots$