関数 $f(x) = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x}$ の導関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x}$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数を整理する。

$f(x) = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x} = \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{2\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x} = 1 - 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-1}$

次に、各項を微分する。

$f'(x) = \frac{d}{dx} (1 - 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-1}) = \frac{d}{dx}(1) - 2\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}}) + \frac{d}{dx}(x^{-1})$

定数の微分は0なので、$\frac{d}{dx}(1) = 0$。

$x^n$ の微分は $nx^{n-1}$ なので、

$\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

$\frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1x^{-2} = -x^{-2}$

よって、

$f'(x) = 0 - 2(-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}) + (-x^{-2}) = x^{-\frac{3}{2}} - x^{-2} = \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} = \frac{\sqrt{x}}{x^2} - \frac{1}{x^2} = \frac{\sqrt{x}-1}{x^2}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{x^2}$