$f(x) = \cos x$ のとき、導関数の定義に従って、$f'(x) = -\sin x$ を証明する問題です。画像には証明の途中経過が示されており、空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

$f(x) = \cos x$ のとき、導関数の定義に従って、$f'(x) = -\sin x$ を証明する問題です。画像には証明の途中経過が示されており、空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$f'(x)$ の定義式から始めます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$f(x) = \cos x$ なので、$f(x+h) = \cos(x+h)$ となります。したがって、アの空欄には $\cos(x+h)$ が入ります。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h}$

次に、$\cos(x+h)$ に加法定理を適用します。加法定理は $\cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h$ です。したがって、イの空欄には $\cos x \cos h - \sin x \sin h$ が入ります。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}$

分子を整理すると、$\cos x(\cos h - 1) - \sin x \sin h$ となります。したがって、ウの空欄には $\cos h - 1$ が入ります。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x (\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h} = \lim_{h \to 0} \left( \cos x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \cdot \frac{\sin h}{h} \right)$

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h}$ と $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$ の極限値を求めます。

$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ であることはよく知られています。

$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h}$ を求めるために、分子と分母に $(\cos h + 1)$ を掛けます。

$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\cos h - 1)(\cos h + 1)}{h(\cos h + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos^2 h - 1}{h(\cos h + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{-\sin^2 h}{h(\cos h + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{-\sin h}{\cos h + 1}$

$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ かつ $\lim_{h \to 0} \frac{-\sin h}{\cos h + 1} = \frac{0}{2} = 0$ なので、$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$ となります。

したがって、

$f'(x) = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x$

3. 最終的な答え

ア: $\cos(x+h)$

イ: $\cos x \cos h - \sin x \sin h$

ウ: $\cos h - 1$