関数 $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$ （ただし $x>0$）を導関数の定義に従って微分しなさい。また、$x^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{x})^3$ が成り立つことを利用しなさい。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$ （ただし $x>0$）を導関数の定義に従って微分しなさい。また、$x^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{x})^3$ が成り立つことを利用しなさい。

2. 解き方の手順

導関数の定義は以下の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

この定義に従って、$f(x) = x^{\frac{3}{2}}$ の導関数を求めます。

まず、$f(x+h) = (x+h)^{\frac{3}{2}}$ です。これを利用して、導関数の定義式に代入します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}}}{h}$

ここで、$x^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{x})^3$ であることを利用します。つまり、$f(x) = (\sqrt{x})^3$ です。

同様に、$f(x+h) = (\sqrt{x+h})^3$ です。

したがって、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h})^3 - (\sqrt{x})^3}{h}$

$(\sqrt{x+h})^3 - (\sqrt{x})^3$ を因数分解します。

$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$ という因数分解の公式を利用すると、

$(\sqrt{x+h})^3 - (\sqrt{x})^3 = (\sqrt{x+h} - \sqrt{x})((\sqrt{x+h})^2 + \sqrt{x+h}\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2) = (\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(x+h + \sqrt{x(x+h)} + x)$

となります。

これを $f'(x)$ の式に代入します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(x+h + \sqrt{x(x+h)} + x)}{h}$

ここで、$\sqrt{x+h} - \sqrt{x}$ を有理化します。

$\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{1} = \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{x+h - x}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{h}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$

これを $f'(x)$ の式に代入します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} (x+h + \sqrt{x(x+h)} + x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(x+h + \sqrt{x(x+h)} + x)}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{x+h + \sqrt{x(x+h)} + x}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$

$h \to 0$ の極限を取ると、

$f'(x) = \frac{x + 0 + \sqrt{x(x+0)} + x}{\sqrt{x+0} + \sqrt{x}} = \frac{x + x + x}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{3x}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2} \frac{x}{\sqrt{x}} = \frac{3}{2} \sqrt{x} = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{3}{2} \sqrt{x} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$