関数 $f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}}$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}}$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を指数の形に書き換えます。

$f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{x \cdot x^{1/2}} = \frac{1}{x^{3/2}} = x^{-3/2}$

次に、導関数の公式 $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$ を用いて、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = \frac{d}{dx} x^{-3/2} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2} - 1} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$

最後に、$f'(x)$ を分数とルートの形に戻します。

$f'(x) = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^{5/2}} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^2 \cdot x^{1/2}} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^2 \sqrt{x}} = -\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$