関数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ の $x=1$ における微分係数を、微分係数の定義に従って求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ の $x=1$ における微分係数を、微分係数の定義に従って求めよ。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は、

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

である。

この問題では、$f(x) = \frac{1}{x^2}$ であり、$a = 1$ であるから、

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(1+h)^2} - \frac{1}{1^2}}{h}$

となる。

これを計算する。

$\frac{\frac{1}{(1+h)^2} - 1}{h} = \frac{1 - (1+h)^2}{h(1+h)^2} = \frac{1 - (1+2h+h^2)}{h(1+h)^2} = \frac{-2h-h^2}{h(1+h)^2} = \frac{h(-2-h)}{h(1+h)^2} = \frac{-2-h}{(1+h)^2}$

したがって、

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{-2-h}{(1+h)^2} = \frac{-2-0}{(1+0)^2} = \frac{-2}{1} = -2$

3. 最終的な答え

-2