$f: S \rightarrow T$, $g: T \rightarrow U$ を写像とし、$U_1 \subset U$ とする。このとき、$(g \circ f)^{-1}(U_1) = f^{-1}(g^{-1}(U_1))$ を証明せよ。与えられた証明開始部分は $(g \circ f)^{-1}(U_1) \subset f^{-1}(g^{-1}(U_1))$ の証明であり、任意の $a \in (g \circ f)^{-1}(U_1)$ をとって、$a \in f^{-1}(g^{-1}(U_1))$ を示す。

1. 問題の内容

$f: S \rightarrow T$, $g: T \rightarrow U$ を写像とし、$U_1 \subset U$ とする。このとき、$(g \circ f)^{-1}(U_1) = f^{-1}(g^{-1}(U_1))$ を証明せよ。与えられた証明開始部分は $(g \circ f)^{-1}(U_1) \subset f^{-1}(g^{-1}(U_1))$ の証明であり、任意の $a \in (g \circ f)^{-1}(U_1)$ をとって、$a \in f^{-1}(g^{-1}(U_1))$ を示す。

2. 解き方の手順

まず、与えられた公式を確認する。

公式1: 任意の $a \in S$ に対して、$a \in (g \circ f)^{-1}(U_1) \Leftrightarrow (g \circ f)(a) \in U_1$

公式2: 任意の $\beta \in T$ に対して、$\beta \in g^{-1}(U_1) \Leftrightarrow g(\beta) \in U_1$

公式3: $T_1$ を $T$ の任意の部分集合とするとき、$\gamma \in f^{-1}(T_1) \Leftrightarrow f(\gamma) \in T_1$

証明開始:

任意の $a \in (g \circ f)^{-1}(U_1)$ をとる。

公式1より、$(g \circ f)(a) \in U_1$ である。

$(g \circ f)(a) = g(f(a))$ なので、$g(f(a)) \in U_1$ である。

公式2を $\beta = f(a)$ として適用すると、$f(a) \in g^{-1}(U_1)$ となる。

ここで、公式3を $\gamma = a$ および $T_1 = g^{-1}(U_1)$ として適用すると、$a \in f^{-1}(g^{-1}(U_1))$ となる。

したがって、任意の $a \in (g \circ f)^{-1}(U_1)$ に対して、$a \in f^{-1}(g^{-1}(U_1))$ が示されたので、

$(g \circ f)^{-1}(U_1) \subset f^{-1}(g^{-1}(U_1))$ が成り立つ。

次に、$f^{-1}(g^{-1}(U_1)) \subset (g \circ f)^{-1}(U_1)$ を示す必要がある。

任意の $a \in f^{-1}(g^{-1}(U_1))$ をとる。

公式3より、$f(a) \in g^{-1}(U_1)$ である。

公式2より、$g(f(a)) \in U_1$ である。

$g(f(a)) = (g \circ f)(a)$ なので、$(g \circ f)(a) \in U_1$ である。

公式1より、$a \in (g \circ f)^{-1}(U_1)$ となる。

したがって、任意の $a \in f^{-1}(g^{-1}(U_1))$ に対して、$a \in (g \circ f)^{-1}(U_1)$ が示されたので、

$f^{-1}(g^{-1}(U_1)) \subset (g \circ f)^{-1}(U_1)$ が成り立つ。

以上より、$(g \circ f)^{-1}(U_1) \subset f^{-1}(g^{-1}(U_1))$ かつ $f^{-1}(g^{-1}(U_1)) \subset (g \circ f)^{-1}(U_1)$ が示されたので、

$(g \circ f)^{-1}(U_1) = f^{-1}(g^{-1}(U_1))$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$(g \circ f)^{-1}(U_1) = f^{-1}(g^{-1}(U_1))$