以下の問題を解きます。 (1) $y$ は $x$ に比例し、$x=5$ のとき $y=3$ である。$y=9$ となる $x$ の値を求めよ。 (2) $y$ は $x$ に反比例し、$x=-\frac{3}{4}$ のとき $y=8$ である。$y=\frac{1}{2}$ となる $x$ の値を求めよ。 (3) 右の図の曲線は、$y$ が $x$ に反比例しているグラフで、点P(2,6) と点Qはその曲線上の点である。点Qの $x$ 座標が4であるとき、点Qの $y$ 座標を求めよ。また、$y$ が $x$ に比例し、傾き $a$ のグラフが、曲線のPQ間の部分(両端を含む)と交わるとき、$a$ の値の範囲を求めよ。 (4) 1次関数 $y=\frac{1}{2}x - 5$ で、$x$ の値が $-6$ から $4$ まで増加したとき、$y$ の増加量を求めよ。 (5) 1次関数 $y=ax+4$ ($a$ は定数)について、$x$ の変域が $0 \le x \le 6$ のとき、$y$ の変域は $2 \le y \le 4$ である。$a$ の値を求めよ。 (6) 点 $(-6, 6)$ を通り、直線 $2x+3y-15=0$ のグラフに平行な直線の式を求めよ。 (7) 2つの関数 $y=3x-6$ と $y=ax+8$ のグラフが $x$ 軸上で交わるとき、$a$ の値を求めよ。 (8) 2点 $(-3, 10)$, $(5, -6)$ を通る直線の式を求めよ。また、この直線と直線 $x-3y=9$ との交点の座標を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の問題を解きます。

(1) $y$ は $x$ に比例し、$x=5$ のとき $y=3$ である。$y=9$ となる $x$ の値を求めよ。

(2) $y$ は $x$ に反比例し、$x=-\frac{3}{4}$ のとき $y=8$ である。$y=\frac{1}{2}$ となる $x$ の値を求めよ。

(3) 右の図の曲線は、$y$ が $x$ に反比例しているグラフで、点P(2,6) と点Qはその曲線上の点である。点Qの $x$ 座標が4であるとき、点Qの $y$ 座標を求めよ。また、$y$ が $x$ に比例し、傾き $a$ のグラフが、曲線のPQ間の部分(両端を含む)と交わるとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

(4) 1次関数 $y=\frac{1}{2}x - 5$ で、$x$ の値が $-6$ から $4$ まで増加したとき、$y$ の増加量を求めよ。

(5) 1次関数 $y=ax+4$ ($a$ は定数)について、$x$ の変域が $0 \le x \le 6$ のとき、$y$ の変域は $2 \le y \le 4$ である。$a$ の値を求めよ。

(6) 点 $(-6, 6)$ を通り、直線 $2x+3y-15=0$ のグラフに平行な直線の式を求めよ。

(7) 2つの関数 $y=3x-6$ と $y=ax+8$ のグラフが $x$ 軸上で交わるとき、$a$ の値を求めよ。

(8) 2点 $(-3, 10)$, $(5, -6)$ を通る直線の式を求めよ。また、この直線と直線 $x-3y=9$ との交点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y$ は $x$ に比例するので、$y = kx$ と表せる。$x=5$ のとき $y=3$ より、$3 = 5k$ なので、$k = \frac{3}{5}$。よって、$y = \frac{3}{5}x$。$y=9$ となる $x$ は、$9 = \frac{3}{5}x$ より、$x = 15$。

(2) $y$ は $x$ に反比例するので、$y = \frac{k}{x}$ と表せる。$x = -\frac{3}{4}$ のとき $y = 8$ より、$8 = \frac{k}{-\frac{3}{4}}$ なので、$k = -6$。よって、$y = -\frac{6}{x}$。$y = \frac{1}{2}$ となる $x$ は、$\frac{1}{2} = -\frac{6}{x}$ より、$x = -12$。

(3) $y$ が $x$ に反比例するグラフなので、$y = \frac{k}{x}$ と表せる。点P(2,6) を通るので、$6 = \frac{k}{2}$ より、$k = 12$。よって、$y = \frac{12}{x}$。点Qの $x$ 座標が4なので、$y = \frac{12}{4} = 3$。したがって、点Qの $y$ 座標は3。

$y = ax$ が線分PQと交わる条件を考える。点Pを通るとき、$6 = 2a$ より $a = 3$。点Qを通るとき、$3 = 4a$ より $a = \frac{3}{4}$。よって、$\frac{3}{4} \le a \le 3$。

(4) $y = \frac{1}{2}x - 5$ で、$x$ が $-6$ から $4$ まで増加すると、$x$ の増加量は $4 - (-6) = 10$。$y$ の増加量は $\frac{1}{2} \times 10 = 5$。

(5) $y = ax + 4$ で、$x$ の変域が $0 \le x \le 6$ のとき、$y$ の変域が $2 \le y \le 4$。$x=0$ のとき $y=4$ なので、$y$ の最大値は4。$x=6$ のとき $y = 6a + 4$。

$a < 0$ のとき、$y$ の最大値は $x=0$ のときで4。$y$ の最小値は $x=6$ のときで、$6a + 4 = 2$ より、$6a = -2$ なので、$a = -\frac{1}{3}$。

$a > 0$ のとき、$y$ の最小値は $x=0$ のときで4となり、2以上という条件を満たさない。したがって、$a=-\frac{1}{3}$

(6) 直線 $2x + 3y - 15 = 0$ より、$3y = -2x + 15$ なので、$y = -\frac{2}{3}x + 5$。この直線に平行な直線の傾きは $-\frac{2}{3}$ なので、$y = -\frac{2}{3}x + b$ と表せる。点 $(-6, 6)$ を通るので、$6 = -\frac{2}{3}(-6) + b$ より、$6 = 4 + b$ なので、$b = 2$。したがって、$y = -\frac{2}{3}x + 2$。

(7) $y = 3x - 6$ が $x$ 軸上で交わる点は、$3x - 6 = 0$ より、$x = 2$。したがって、$(2, 0)$ で交わる。$y = ax + 8$ も $(2, 0)$ を通るので、$0 = 2a + 8$ より、$2a = -8$ なので、$a = -4$。

(8) 2点 $(-3, 10)$, $(5, -6)$ を通る直線の傾きは $\frac{-6 - 10}{5 - (-3)} = \frac{-16}{8} = -2$。よって、$y = -2x + b$ と表せる。点 $(-3, 10)$ を通るので、$10 = -2(-3) + b$ より、$10 = 6 + b$ なので、$b = 4$。したがって、$y = -2x + 4$。

直線 $x - 3y = 9$ より、$x = 3y + 9$。これを $y = -2x + 4$ に代入すると、$y = -2(3y + 9) + 4$ より、$y = -6y - 18 + 4$ なので、$7y = -14$。したがって、$y = -2$。$x = 3(-2) + 9 = -6 + 9 = 3$。よって、交点は $(3, -2)$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 15$

(2) $x = -12$

(3) 点Qの $y$ 座標は3。$a$ の値の範囲は $\frac{3}{4} \le a \le 3$。

(4) $y$ の増加量は $5$。

(5) $a = -\frac{1}{3}$

(6) $y = -\frac{2}{3}x + 2$

(7) $a = -4$

(8) $y = -2x + 4$, 交点は $(3, -2)$