$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ が与えられたとき、$\sin \theta \cos \theta$ の値を求め、さらに $\frac{1}{\sin \theta} + \frac{1}{\cos \theta}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ が与えられたとき、$\sin \theta \cos \theta$ の値を求め、さらに $\frac{1}{\sin \theta} + \frac{1}{\cos \theta}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ の両辺を2乗します。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{4})^2$

$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{16}$

ここで、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから、

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{16}$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{16} - 1$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{16} - \frac{16}{16}$

$2 \sin \theta \cos \theta = -\frac{15}{16}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{15}{32}$

次に、$\frac{1}{\sin \theta} + \frac{1}{\cos \theta}$ の値を求めます。

$\frac{1}{\sin \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\cos \theta + \sin \theta}{\sin \theta \cos \theta}$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ と $\sin \theta \cos \theta = -\frac{15}{32}$ を代入します。

$\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{15}{32}} = \frac{1}{4} \times (-\frac{32}{15})$

$= -\frac{32}{60} = -\frac{8}{15}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{15}{32}$

$\frac{1}{\sin \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = -\frac{8}{15}$