関数 $y = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ を微分してください。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、商の微分法則を使います。商の微分法則は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ の微分が次のようになるというものです。

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$

ここで、$u(x) = \sin x$ および $v(x) = \sin x + \cos x$ とします。

まず、$u(x)$ と $v(x)$ の微分を計算します。

$u'(x) = \cos x$

$v'(x) = \cos x - \sin x$

次に、これらの微分と元の関数を商の微分法則に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(\cos x)(\sin x + \cos x) - (\sin x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}$

分子を展開して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x \sin x + \cos^2 x - \sin x \cos x + \sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2}$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(\sin x + \cos x)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(\sin x + \cos x)^2}$