$y = \cos^3 2x$ を微分せよ。

1. 問題の内容

$y = \cos^3 2x$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用いる。まず、$y = u^3$ とおき、$u = \cos 2x$ である。

さらに、$v = 2x$ とおくと、$u = \cos v$ である。

まず、$y$ を $u$ で微分する。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

次に、$u$ を $v$ で微分する。

$\frac{du}{dv} = -\sin v$

最後に、$v$ を $x$ で微分する。

$\frac{dv}{dx} = 2$

合成関数の微分法により、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

それぞれの導関数を代入する。

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot (-\sin v) \cdot 2$

$u = \cos 2x$ および $v = 2x$ を代入する。

$\frac{dy}{dx} = 3(\cos 2x)^2 \cdot (-\sin 2x) \cdot 2$

整理すると、

$\frac{dy}{dx} = -6 \cos^2 2x \sin 2x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -6 \cos^2 2x \sin 2x$