関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分公式を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

ここで、$u = x + \sqrt{x^2 + 1}$ と置くと、$y = \log(u)$ となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。

$u = x + \sqrt{x^2 + 1}$ なので、

$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$