関数 $y = \log \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$ ($0 < x < \pi$) を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$ ($0 < x < \pi$) を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って関数を簡単にします。

$y = \log (1 - \cos x) - \log (1 + \cos x)$

次に、$y$ を $x$ で微分します。

対数関数の微分公式は、$\frac{d}{dx} \log u = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 - \cos x} \frac{d}{dx} (1 - \cos x) - \frac{1}{1 + \cos x} \frac{d}{dx} (1 + \cos x)$

$\cos x$ の微分は $-\sin x$ であるので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 - \cos x} (0 - (-\sin x)) - \frac{1}{1 + \cos x} (0 + (-\sin x))$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{1 - \cos x} + \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

共通分母でまとめます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x (1 + \cos x) + \sin x (1 - \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x + \sin x \cos x + \sin x - \sin x \cos x}{1 - \cos^2 x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin x}{1 - \cos^2 x}$

三角関数の恒等式 $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ を使うと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin x}{\sin^2 x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sin x}$

$\frac{dy}{dx} = 2 \csc x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sin x} = 2 \csc x$