関数 $f(x) = x^2 e^{2x}$ の3次導関数を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 e^{2x}$ の3次導関数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、1次導関数$f'(x)$、2次導関数$f''(x)$、そして3次導関数$f'''(x)$を順番に計算します。

* 1次導関数 $f'(x)$を計算します。積の微分法則 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^2$, $v = e^{2x}$ とすると、$u' = 2x$, $v' = 2e^{2x}$ となります。

したがって、

$f'(x) = (x^2)'e^{2x} + x^2(e^{2x})' = 2xe^{2x} + x^2(2e^{2x}) = 2xe^{2x} + 2x^2e^{2x} = (2x^2 + 2x)e^{2x}$

* 2次導関数 $f''(x)$を計算します。再び積の微分法則を用います。

$u = 2x^2 + 2x$, $v = e^{2x}$ とすると、$u' = 4x + 2$, $v' = 2e^{2x}$ となります。

したがって、

$f''(x) = (2x^2 + 2x)'e^{2x} + (2x^2 + 2x)(e^{2x})' = (4x+2)e^{2x} + (2x^2 + 2x)(2e^{2x}) = (4x+2)e^{2x} + (4x^2 + 4x)e^{2x} = (4x^2 + 8x + 2)e^{2x}$

* 3次導関数 $f'''(x)$を計算します。再び積の微分法則を用います。

$u = 4x^2 + 8x + 2$, $v = e^{2x}$ とすると、$u' = 8x + 8$, $v' = 2e^{2x}$ となります。

したがって、

$f'''(x) = (4x^2 + 8x + 2)'e^{2x} + (4x^2 + 8x + 2)(e^{2x})' = (8x+8)e^{2x} + (4x^2 + 8x + 2)(2e^{2x}) = (8x+8)e^{2x} + (8x^2 + 16x + 4)e^{2x} = (8x^2 + 24x + 12)e^{2x}$

3. 最終的な答え

$f'''(x) = (8x^2 + 24x + 12)e^{2x}$