関数 $y = \log(1 + \frac{1}{x})$ ($x > 0$) を微分せよ。ここで、$\log$ は自然対数とする。

1. 問題の内容

関数 $y = \log(1 + \frac{1}{x})$ ($x > 0$) を微分せよ。ここで、$\log$ は自然対数とする。

2. 解き方の手順

与えられた関数を微分するために、合成関数の微分法（チェーンルール）を用いる。

まず、$u = 1 + \frac{1}{x}$ とおくと、$y = \log(u)$ となる。

$y$ を $x$ で微分するためには、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を計算すればよい。

$\frac{dy}{du}$ は、 $y = \log(u)$ を $u$ で微分することで求まる。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

次に、$\frac{du}{dx}$ は、$u = 1 + \frac{1}{x} = 1 + x^{-1}$ を $x$ で微分することで求まる。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (1 + x^{-1}) = 0 + (-1)x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)$

これを整理する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{x+1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{x}{x+1} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{1}{x(x+1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x(x+1)}$