関数 $y = x(\log x)^2$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x(\log x)^2$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

$y = x(\log x)^2$ を微分するには、積の微分法則と合成関数の微分法則（チェインルール）を用いる。

積の微分法則は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の微分が $(uv)' = u'v + uv'$ で与えられるというものである。この問題では、$u(x) = x$ と $v(x) = (\log x)^2$ と考える。

まず、$u(x) = x$ の微分は $u'(x) = 1$ である。

次に、$v(x) = (\log x)^2$ の微分を求める。これは合成関数の微分なので、 $(\log x)^2$ を $w^2$ と見なして、 $w = \log x$ とすると、 $\frac{d}{dx}(\log x)^2 = 2(\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$ となる。ここで、$\frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$ であるから、

$v'(x) = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \log x}{x}$ となる。

したがって、$y' = u'v + uv' = 1 \cdot (\log x)^2 + x \cdot \frac{2 \log x}{x} = (\log x)^2 + 2 \log x$

3. 最終的な答え

$(\log x)^2 + 2 \log x$