実数 $x$ に対して、$y = (x^2 + 2x)^2 + 8(x^2 + 2x) + 10$ が与えられています。$t = x^2 + 2x$ とおいたとき、$y$ を $t$ の式で表し、$y$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、$y = (x^2 + 2x)^2 + 8(x^2 + 2x) + 10$ が与えられています。$t = x^2 + 2x$ とおいたとき、$y$ を $t$ の式で表し、$y$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $t$ の式で表します。

$y = t^2 + 8t + 10$

次に、$y$ を平方完成します。

$y = (t^2 + 8t) + 10 = (t^2 + 8t + 16) - 16 + 10 = (t + 4)^2 - 6$

したがって、

$y = (t + 4)^2 - 6$

次に、$t = x^2 + 2x$ の範囲を調べます。$t$ を平方完成すると、

$t = x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x + 1)^2 - 1$

$x$ は実数なので、$(x + 1)^2 \geq 0$。したがって、$t \geq -1$。

$y = (t + 4)^2 - 6$ の最小値を考えます。$t \geq -1$ の範囲で、$y$ は $t = -1$ のとき最小値をとります。

$t = -1$ のとき、$y = (-1 + 4)^2 - 6 = 3^2 - 6 = 9 - 6 = 3$

次に、$t = -1$ となる $x$ を求めます。

$x^2 + 2x = -1$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x = -1$

したがって、$y$ は $x = -1$ で最小値 $3$ をとります。

3. 最終的な答え

$y = (t + 4)^2 - 6$ となる。したがって、$y$ は $x = -1$ で最小値 $3$ をとる。