関数 $y = \{\log(x^2 + 2x)\}^3$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \{\log(x^2 + 2x)\}^3$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = \{\log(x^2 + 2x)\}^3$ を微分します。

合成関数の微分法を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

となります。

まず、$u = \log(x^2 + 2x)$ とおくと、$y = u^3$ です。

よって、$\frac{dy}{du} = 3u^2$ となります。

次に、$v = x^2 + 2x$ とおくと、$u = \log(v)$ です。

よって、$\frac{du}{dv} = \frac{1}{v}$ となります。

最後に、$\frac{dv}{dx} = 2x + 2$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \frac{1}{v} \cdot (2x+2) = 3\{\log(x^2 + 2x)\}^2 \cdot \frac{1}{x^2 + 2x} \cdot (2x+2)$

$= \frac{3(2x+2)\{\log(x^2 + 2x)\}^2}{x^2 + 2x} = \frac{6(x+1)\{\log(x^2 + 2x)\}^2}{x(x+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{6(x+1)\{\log(x^2 + 2x)\}^2}{x(x+2)}$