関数 $y = \frac{\log(x+1)}{x}$ （ただし、$x > 0$）を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\log(x+1)}{x}$ （ただし、$x > 0$）を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は商の形をしているので、商の微分公式を使います。

商の微分公式は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ のとき、

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

となります。

この問題では、$u(x) = \log(x+1)$、$v(x) = x$ とおきます。

まず、$u(x)$ の微分を計算します。

$u'(x) = \frac{d}{dx} \log(x+1) = \frac{1}{x+1}$

次に、$v(x)$ の微分を計算します。

$v'(x) = \frac{d}{dx} x = 1$

これらの結果を商の微分公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{x+1} \cdot x - \log(x+1) \cdot 1}{x^2} = \frac{\frac{x}{x+1} - \log(x+1)}{x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x - (x+1)\log(x+1)}{x^2(x+1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{x - (x+1)\log(x+1)}{x^2(x+1)}$