* 問題4：3点 A(-5, 1), B(-1, 3), C(a, 6) を通る直線がある。 * (1) $a$ の値を求める。 * (2) 点 C を通り、直線 OB に平行な直線の式を求める。 * 問題5：ばねの伸びは、下げたおもりの重さに比例する。16gのおもりを下げたときのばね全体の長さは14cm、40gのおもりを下げたときのばね全体の長さは17cmであった。 * (1) $y$ を $x$ の式で表す。ただし、$x$ はおもりの重さ、$y$ はばねの全体の長さ。 * (2) ばね全体の長さが20.5cmになるのは、何gのおもりを下げたときか求める。 * 問題6：AB=8cm, BC=6cm, ∠B=90°の直角三角形ABCがある。点Pは毎秒2cmの速さで辺AB, BC上をAからBを通ってCまで進む。 * (1) 点Pが次の辺上にあるとき、$y$を$x$の式で表し、xの変域を書く。ただし、$x$ はPがAを出発してからの時間、$y$ は△APCの面積。 * ① 辺AB上 * ② 辺BC上 * (2) 点PがAからCまで進むときの$x$と$y$の関係をグラフに表す。 * (3) 辺BA上を毎秒1cmの速さでBからAまで進む点Qがある。PがAを出発すると同時に、QがBを出発する。PがCに着くまでの間で、△APCと△AQCの面積が等しくなるのは何秒後か、すべて求める。

## 問題の解答

1. 問題の内容

* 問題4：3点 A(-5, 1), B(-1, 3), C(a, 6) を通る直線がある。

* (1) $a$ の値を求める。

* (2) 点 C を通り、直線 OB に平行な直線の式を求める。

* 問題5：ばねの伸びは、下げたおもりの重さに比例する。16gのおもりを下げたときのばね全体の長さは14cm、40gのおもりを下げたときのばね全体の長さは17cmであった。

* (1) $y$ を $x$ の式で表す。ただし、$x$ はおもりの重さ、$y$ はばねの全体の長さ。

* (2) ばね全体の長さが20.5cmになるのは、何gのおもりを下げたときか求める。

* 問題6：AB=8cm, BC=6cm, ∠B=90°の直角三角形ABCがある。点Pは毎秒2cmの速さで辺AB, BC上をAからBを通ってCまで進む。

* (1) 点Pが次の辺上にあるとき、$y$を$x$の式で表し、xの変域を書く。ただし、$x$ はPがAを出発してからの時間、$y$ は△APCの面積。

* ① 辺AB上

* ② 辺BC上

* (2) 点PがAからCまで進むときの$x$と$y$の関係をグラフに表す。

* (3) 辺BA上を毎秒1cmの速さでBからAまで進む点Qがある。PがAを出発すると同時に、QがBを出発する。PがCに着くまでの間で、△APCと△AQCの面積が等しくなるのは何秒後か、すべて求める。

2. 解き方の手順

* 問題4

* (1) 3点A, B, C が同一直線上にあるので、直線ABの傾きと直線BCの傾きは等しい。直線ABの傾きは $\frac{3-1}{-1-(-5)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。直線BCの傾きは $\frac{6-3}{a-(-1)} = \frac{3}{a+1}$。よって、$\frac{1}{2} = \frac{3}{a+1}$ を解く。

* (2) まず、直線OBの傾きを求める。直線OBの傾きは $\frac{3-0}{-1-0} = -3$。点Cを通り、直線OBに平行な直線の傾きも -3。よって、求める直線の式を $y = -3x + b$ とおき、点C(a, 6)を通ることから、$6 = -3a + b$ が成り立つ。$b = 6 + 3a$ であるから、$y = -3x + 6 + 3a$。ただし(1)でaの値を求めているので、代入すればよい。

* 問題5

* (1) ばねの伸びは、おもりの重さに比例するので、$y = ax + b$ とおく。16gのおもりで14cm、40gのおもりで17cmなので、$14 = 16a + b$ かつ $17 = 40a + b$ が成り立つ。この連立方程式を解く。

* (2) (1)で求めた式に $y = 20.5$ を代入し、$x$ を求める。

* 問題6

* (1)

* ① 辺AB上：点PがAB上にあるのは、Aを出発してから4秒後まで。$0 \le x \le 4$。AP = $2x$。△APCの面積は、底辺をAPと見ると、高さはBCに等しく6cm。よって、$y = \frac{1}{2} \times 2x \times 6 = 6x$。

* ② 辺BC上：点PがBC上にあるのは、4秒後から7秒後まで。$4 \le x \le 7$。BP = $2x - 8$。PC = $6 - (2x - 8) = 14 - 2x$。△APCの面積は、底辺をACと見ると、高さはPからACまでの距離になるが、底辺をBCと見ると高さはABになる。△ABCの面積から△BPCの面積を引けばよい。△ABC = $\frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$。△BPC = $\frac{1}{2} \times (6 - (2x-8)) \times 8 = \frac{1}{2} \times (14 - 2x) \times 8 = 4(14-2x) = 56 - 8x$。よって、$y = 24 - (56-8x) = 8x - 32$。

* (2) グラフは(1)で求めた式を元に書く。$0 \le x \le 4$のとき、$y = 6x$。$4 \le x \le 7$のとき、$y = 8x - 32$。

* (3) Qは毎秒1cmでBからAに進むので、BQ = $x$。AQ = $8-x$。△AQCの面積は、底辺をAQと見ると、高さはBCに等しいので、$\frac{1}{2} \times (8-x) \times 6 = 3(8-x) = 24-3x$。△APCの面積は(1)で求めた通り。よって、△APCと△AQCの面積が等しくなるのは、以下の2つの場合がある。

* PがAB上にあるとき：$6x = 24 - 3x$ を解く。

* PがBC上にあるとき：$8x - 32 = 24 - 3x$ を解く。

3. 最終的な答え

* 問題4

* (1) $a = 5$

* (2) $y = -3x + 21$

* 問題5

* (1) $y = \frac{1}{8}x + 12$

* (2) 68g

* 問題6

* (1)

* ① 辺AB上：式 $y = 6x$, 変域 $0 \le x \le 4$

* ② 辺BC上：式 $y = 8x - 32$, 変域 $4 \le x \le 7$

* (2) グラフは省略

* (3) $\frac{8}{3}$秒後, $\frac{56}{11}$秒後