$x$ の方程式 $3\cos^2x + a(6a+7)\sin x - 8a^3 - 4a^2 - 3 = 0$ (これを式①とします) について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 式①を $(3\sin x - \text{ア} a)(\sin x - (\text{イ}a^2 + a)) = 0$ の形に変形します。 (2) 式①が解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$x$ の方程式 $3\cos^2x + a(6a+7)\sin x - 8a^3 - 4a^2 - 3 = 0$ (これを式①とします) について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 式①を $(3\sin x - \text{ア} a)(\sin x - (\text{イ}a^2 + a)) = 0$ の形に変形します。

(2) 式①が解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ なので、式①は以下のように書き換えられます。

$3(1 - \sin^2 x) + a(6a+7)\sin x - 8a^3 - 4a^2 - 3 = 0$

$-3\sin^2 x + a(6a+7)\sin x - 8a^3 - 4a^2 = 0$

$3\sin^2 x - a(6a+7)\sin x + 8a^3 + 4a^2 = 0$

次に、与えられた形 $(3\sin x - \text{ア} a)(\sin x - (\text{イ} a^2 + a)) = 0$ を展開すると、

$3\sin^2 x - (3a^2 + 3a + \text{ア} a)\sin x + \text{ア} a(a^2 + a) = 0$

$3\sin^2 x - (3a^2 + 3a + \text{ア} a)\sin x + \text{ア} a^3 + \text{ア} a^2 = 0$

係数を比較します。

$\sin x$ の係数を比較すると、

$a(6a+7) = 3a^2 + 3a + \text{ア} a$

$6a^2 + 7a = 3a^2 + 3a + \text{ア} a$

$3a^2 + (4-\text{ア})a = 0$

$a(3a + 4 - \text{ア}) = 0$

$a$ は任意の値を取りうるので、$3a + 4 - \text{ア} = 0$ が常に成り立つわけではありません。

定数項を比較すると、

$8a^3 + 4a^2 = \text{ア} a^3 + \text{ア} a^2$

$(8-\text{ア})a^3 + (4-\text{ア})a^2 = 0$

$a^2((8-\text{ア})a + (4-\text{ア})) = 0$

これも $a$ が任意の値を取りうるので、$(8-\text{ア})a + (4-\text{ア}) = 0$が常に成り立つわけではありません。

しかし、与えられた因数分解の形から推測すると、おそらく正しく因数分解できるはずなので、因数分解を試みます。

$3\sin^2 x - a(6a+7)\sin x + 8a^3 + 4a^2 = 0$

$(3\sin x - 4a)(\sin x - (2a^2 + a)) = 0$ と仮定すると、

$3\sin^2 x - (6a^2 + 3a + 4a) \sin x + 8a^3 + 4a^2 = 0$

$3\sin^2 x - (6a^2 + 7a) \sin x + 8a^3 + 4a^2 = 0$

となり、元の式と一致します。

よって、ア = $4$、イ = $2$ となります。

したがって、式①は $(3\sin x - 4a)(\sin x - (2a^2 + a)) = 0$ と変形できます。

(2)

式①が解をもつためには、$3\sin x - 4a = 0$ または $\sin x - (2a^2 + a) = 0$ である必要があります。

つまり、$\sin x = \frac{4a}{3}$ または $\sin x = 2a^2 + a$ となります。

$-1 \le \sin x \le 1$ より、

$-1 \le \frac{4a}{3} \le 1$ かつ $-1 \le 2a^2 + a \le 1$ を満たす $a$ の範囲を求めます。

$-1 \le \frac{4a}{3} \le 1$ より、$-\frac{3}{4} \le a \le \frac{3}{4}$

$-1 \le 2a^2 + a \le 1$ より、

$2a^2 + a + 1 \ge 0$ これは常に成立する。

$2a^2 + a - 1 \le 0$

$(2a - 1)(a + 1) \le 0$

$-1 \le a \le \frac{1}{2}$

したがって、 $-\frac{3}{4} \le a \le \frac{3}{4}$ かつ $-1 \le a \le \frac{1}{2}$ より、

$-\frac{3}{4} \le a \le \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) ア = 4, イ = 2

(2) $-\frac{3}{4} \le a \le \frac{1}{2}$