関数 $y = e^{-x} \sin 3x$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{-x} \sin 3x$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分法と合成関数の微分法を用いる。

$y = e^{-x} \sin 3x$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{-x} \sin 3x)$

積の微分法により、

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{-x}) \sin 3x + e^{-x} \frac{d}{dx}(\sin 3x)$

ここで、$\frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}$ であり、$\frac{d}{dx}(\sin 3x) = 3\cos 3x$ であるから、

$\frac{dy}{dx} = -e^{-x} \sin 3x + e^{-x} (3\cos 3x)$

$\frac{dy}{dx} = -e^{-x} \sin 3x + 3e^{-x} \cos 3x$

$e^{-x}$ でくくると、

$\frac{dy}{dx} = e^{-x} (3\cos 3x - \sin 3x)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = e^{-x}(3\cos 3x - \sin 3x)$