関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

この関数は積の形をしているため、積の微分公式を使う。積の微分公式は $(uv)' = u'v + uv'$ である。ここで、

$u = x^2 + 1$

$v = 5^{x^3}$

とおく。

まず、$u$ を微分する。

$u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$

次に、$v$ を微分する。

$v = 5^{x^3}$

この関数は合成関数の形をしているので、合成関数の微分公式を使う。合成関数の微分公式は $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$ である。

$v' = \frac{d}{dx}5^{x^3} = 5^{x^3} \cdot \ln 5 \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = 5^{x^3} \cdot \ln 5 \cdot 3x^2 = 3x^2 \ln 5 \cdot 5^{x^3}$

積の微分公式を使って、導関数を求める。

$y' = u'v + uv' = 2x \cdot 5^{x^3} + (x^2 + 1)(3x^2 \ln 5 \cdot 5^{x^3}) = 2x \cdot 5^{x^3} + 3x^2(x^2 + 1) \ln 5 \cdot 5^{x^3} = 5^{x^3} [2x + 3x^2(x^2+1) \ln 5] = 5^{x^3}[2x + (3x^4 + 3x^2) \ln 5]$

3. 最終的な答え

$y' = 5^{x^3}[2x + (3x^4 + 3x^2) \ln 5]$