関数 $y = \frac{e^x}{\sin x}$ を微分してください。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{e^x}{\sin x}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

この関数は商の形をしているので、商の微分公式を使います。商の微分公式は以下の通りです。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = e^x$ と $v = \sin x$ とおきます。すると、

$u' = (e^x)' = e^x$

$v' = (\sin x)' = \cos x$

これらの結果を商の微分公式に代入します。

$y' = (\frac{e^x}{\sin x})' = \frac{(e^x)'(\sin x) - (e^x)(\sin x)'}{(\sin x)^2}$

$y' = \frac{e^x \sin x - e^x \cos x}{\sin^2 x}$

$e^x$ でくくると、

$y' = \frac{e^x (\sin x - \cos x)}{\sin^2 x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x (\sin x - \cos x)}{\sin^2 x}$