関数 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、商の微分法則を使用します。商の微分法則は、関数 $y = \frac{u}{v}$ の微分が $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ で与えられるというものです。ここで、$u = e^x - e^{-x}$ と $v = e^x + e^{-x}$ とします。

まず、$u$ と $v$ の微分を計算します。

$u' = \frac{d}{dx}(e^x - e^{-x}) = e^x - (-e^{-x}) = e^x + e^{-x}$

$v' = \frac{d}{dx}(e^x + e^{-x}) = e^x + (-e^{-x}) = e^x - e^{-x}$

次に、商の微分法則を適用します。

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2}$

分子を展開します。

$(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x}) = e^{2x} + 2e^x e^{-x} + e^{-2x} = e^{2x} + 2 + e^{-2x}$

$(e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x}) = e^{2x} - 2e^x e^{-x} + e^{-2x} = e^{2x} - 2 + e^{-2x}$

分子は次のようになります。

$e^{2x} + 2 + e^{-2x} - (e^{2x} - 2 + e^{-2x}) = e^{2x} + 2 + e^{-2x} - e^{2x} + 2 - e^{-2x} = 4$

したがって、

$y' = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$