7. 水槽の問題: A管から水を入れる、B管から水を出すことができる水槽に10Lの水が入っている。グラフはA管を開いてからの時間 $x$ 分と水槽の水の量 $y$ Lの関係を表す。 (1) B管から出る水の量は毎分何Lか？ (2) $4 \le x \le 12$ のとき、$x$ と $y$ の関係を表す式を求めよ。 (3) 水を入れ始めてから10分後の水槽の水の量を求めよ。 (4) 水槽の水の量が7Lになるのは、水を入れ始めてから何分後か？ 8. Aさんの移動の問題: Aさんは家から3000m離れた公園に自転車で向かい、公園で5分間休憩した後、行きの1.5倍の速さで家に帰る。 (1) Aさんが公園に着いてから家に帰るまでの、$x$ と $y$ の関係を表すグラフを描け。 (2) 休憩後、公園を出発してから家に帰ってくるまでの、$x$ と $y$ の関係を式で表せ。 (3) 弟はAさんが出発してから何分か後に分速100mで家を出発し、午前10時24分に公園から帰ってくるAさんと出会った。 (1) 2人が出会った地点は、家から何m離れたところか？ (2) 弟が家を出発した時刻を求めよ。

1. 問題の内容

7. 水槽の問題: A管から水を入れる、B管から水を出すことができる水槽に10Lの水が入っている。グラフはA管を開いてからの時間 $x$ 分と水槽の水の量 $y$ Lの関係を表す。

(1) B管から出る水の量は毎分何Lか？

(2) $4 \le x \le 12$ のとき、$x$ と $y$ の関係を表す式を求めよ。

(3) 水を入れ始めてから10分後の水槽の水の量を求めよ。

(4) 水槽の水の量が7Lになるのは、水を入れ始めてから何分後か？

8. Aさんの移動の問題: Aさんは家から3000m離れた公園に自転車で向かい、公園で5分間休憩した後、行きの1.5倍の速さで家に帰る。

(1) Aさんが公園に着いてから家に帰るまでの、$x$ と $y$ の関係を表すグラフを描け。

(2) 休憩後、公園を出発してから家に帰ってくるまでの、$x$ と $y$ の関係を式で表せ。

(3) 弟はAさんが出発してから何分か後に分速100mで家を出発し、午前10時24分に公園から帰ってくるAさんと出会った。

(1) 2人が出会った地点は、家から何m離れたところか？

(2) 弟が家を出発した時刻を求めよ。

2. 解き方の手順

7. 水槽の問題

(1) 4分から12分までの8分間で、水の量は42Lから30Lに12L減少している。A管からは水が入っているが、B管からも水が出ている。A管から入る水の量は、最初の4分間で22L増えていることから、22L/4分 = 5.5L/分である。したがって、B管から出る水の量は、8分間で12L + (5.5L/分 * 8分) = 12L + 44L = 56L。 したがって、B管から出る水の量は、56L/8分 = 7L/分。

(2) $4 \le x \le 12$ のとき、グラフは直線である。この直線の傾きは、(30-42)/(12-4) = -12/8 = -1.5。したがって、$y = -1.5x + b$の形になる。点(4, 42)を代入すると、$42 = -1.5 * 4 + b$。$42 = -6 + b$より、$b = 48$。したがって、$y = -1.5x + 48$。

(3) 最初の4分間で水の量は $10 + 5.5*4 = 10 + 22 = 32$ L。4分から10分までの6分間で、水の量は $32 + (5.5 - 7) * 6 = 32 - 1.5*6 = 32 - 9 = 23$L。 問題文に書いてある解答39Lは誤り。

(4) 最初の4分間で、水量は $10 + 5.5x$ で表される。水量が7Lになることはない。4分後以降で考える。

$y = -1.5x + 48 = 7$ より、$1.5x = 41$、$x = 41 / 1.5 = 82 / 3 = 27 + 1/3$ 分。

8. Aさんの移動の問題

(1) Aさんは公園で5分間休むので、公園に着いた時間から5分間は $y = 3000$ の直線になる。帰りは行きの1.5倍の速さなので、かかる時間は $20/1.5 = 40/3$ 分。グラフは (25, 3000) から (25 + 40/3, 0) を結ぶ直線となる。$25 + 40/3 = 75/3 + 40/3 = 115/3 = 38 + 1/3$分。

(2) 公園から家に戻る時間の式を求める。傾きは $-3000 / (40/3) = -3000 * 3 / 40 = -9000 / 40 = -225$。式は $y = -225 (x - 25) + 3000$ となる。

$y = -225x + 5625 + 3000 = -225x + 8625$。

(3)

(1) Aさんの家からの距離は $y = -225x + 8625$ で表される。弟は分速100mで進むので、家からの距離は $y = 100 (24 - t)$ で表される。ここで、$t$ は弟が出発した時間。$24 - t$ は弟が出発してから出会うまでの時間。出会う場所は同じなので、$-225 * 24 + 8625 = 100 (24 - t)$。Aさんが家を出発して24分後の位置に弟はいるので、$x = 24$。弟が出発した時間をtとすると、弟は24-t分だけ進んでいるので、その距離は100*(24-t)。家から24分後のAさんの位置は、-225*24+8625 = -5400+8625 = 3225。よって、出会ったのは家から3225 mの地点。

(2) 弟は24 - t 分だけ進んでいるので、その距離は $100(24 - t)$ m。したがって、$3225 = 100(24 - t)$ より、$32.25 = 24 - t$、$t = 24 - 32.25 = -8.25$ 分。

3. 最終的な答え

7. 水槽の問題

(1) 7L/分

(2) $y = -1.5x + 48$

(3) 23L

(4) $27\frac{1}{3}$ 分後

8. Aさんの移動の問題

(1) グラフは省略

(2) $y = -225x + 8625$

(3)

(1) 3225 m

(2) -8.25分