関数 $y = (x^2+2x)^2 + 4(x^2+2x) - 5$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2+2x)^2 + 4(x^2+2x) - 5$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = x^2+2x$ とおく。

すると、$y = t^2 + 4t - 5$ となる。

$y$ を $t$ について平方完成すると、

$y = (t+2)^2 - 9$

$t = x^2+2x$ を平方完成すると、

$t = (x+1)^2 - 1$

$t$ の最小値は $x=-1$ のとき $-1$ である。

$y = (t+2)^2 - 9$ は下に凸な関数なので、$t=-2$ の時に最小値 $-9$ をとる。

ここで、$t = x^2+2x = -2$ となる $x$ が存在するかを調べる。

$x^2+2x+2=0$

$(x+1)^2+1=0$

$(x+1)^2 = -1$

この式を満たす実数 $x$ は存在しない。

$y = (t+2)^2 - 9$ において、$t \ge -1$ であるから、$t=-1$ のとき $y$ は最小値をとる。

$t = -1$ のとき、

$y = (-1+2)^2 - 9 = 1-9 = -8$

3. 最終的な答え

-8