$a>1$, $b>1$, $c=ab$ を満たす実数 $a, b, c$ がある。$a^x = b^y = c^z$ を満たす実数 $x, y, z$ に対して, $xy - yz - zx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a>1$, $b>1$, $c=ab$ を満たす実数 $a, b, c$ がある。$a^x = b^y = c^z$ を満たす実数 $x, y, z$ に対して, $xy - yz - zx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず, $a^x = b^y = c^z = k$ とおく。ここで $k > 0$ である。

すると、

$a = k^{1/x}$, $b = k^{1/y}$, $c = k^{1/z}$

となる。また、$c = ab$ より、

$k^{1/z} = k^{1/x} \cdot k^{1/y} = k^{1/x + 1/y}$

よって、

$\frac{1}{z} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

両辺に $xyz$ を掛けると、

$xy = yz + zx$

したがって、

$xy - yz - zx = 0$

3. 最終的な答え

$xy - yz - zx = 0$