関数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ を導関数の定義に従って微分する問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ を導関数の定義に従って微分する問題です。

2. 解き方の手順

導関数の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

まず、$f(x+h)$ を求めます。

$f(x+h) = \frac{1}{(x+h)^2}$

次に、$f(x+h) - f(x)$ を計算します。

$f(x+h) - f(x) = \frac{1}{(x+h)^2} - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - (x+h)^2}{x^2(x+h)^2} = \frac{x^2 - (x^2 + 2xh + h^2)}{x^2(x+h)^2} = \frac{-2xh - h^2}{x^2(x+h)^2} = \frac{-h(2x+h)}{x^2(x+h)^2}$

次に、$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を計算します。

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{-h(2x+h)}{h x^2(x+h)^2} = \frac{-(2x+h)}{x^2(x+h)^2}$

最後に、$h \to 0$ の極限を計算します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-(2x+h)}{x^2(x+h)^2} = \frac{-2x}{x^2(x)^2} = \frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\frac{2}{x^3}$