行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えよ。 (1) $xE_2 - A = \begin{pmatrix} x-1 & -3 \\ -4 & x-2 \end{pmatrix}$ の行列式 $|xE_2 - A|$ を計算し、$|xE_2 - A| = 0$ を満たす $x$ を求めよ。 (2) 行列 $P = \begin{pmatrix} 3/4 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、$P^{-1}AP$ を計算せよ。 (3) 自然数 $n$ に対して $A^n = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n個}$ を求めよ。

## 問題5

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えよ。

(1) $xE_2 - A = \begin{pmatrix} x-1 & -3 \\ -4 & x-2 \end{pmatrix}$ の行列式 $|xE_2 - A|$ を計算し、$|xE_2 - A| = 0$ を満たす $x$ を求めよ。

(2) 行列 $P = \begin{pmatrix} 3/4 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、$P^{-1}AP$ を計算せよ。

(3) 自然数 $n$ に対して $A^n = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n個}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* $xE_2 - A$ の行列式を計算する。

$|xE_2 - A| = (x-1)(x-2) - (-3)(-4) = x^2 - 3x + 2 - 12 = x^2 - 3x - 10$

* $|xE_2 - A| = 0$ となる $x$ を求める。

$x^2 - 3x - 10 = (x-5)(x+2) = 0$ より、$x = 5, -2$

(2)

* $P$ の逆行列 $P^{-1}$ を求める。

$P = \begin{pmatrix} 3/4 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ の行列式は $\det(P) = (3/4)(1) - (-1)(1) = 3/4 + 1 = 7/4$

したがって、$P^{-1} = \frac{4}{7} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3/4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/7 & 4/7 \\ -4/7 & 3/7 \end{pmatrix}$

* $P^{-1}AP$ を計算する。

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 4/7 & 4/7 \\ -4/7 & 3/7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3/4 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/7 & 4/7 \\ -4/7 & 3/7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3/4 + 3 & -1 + 3 \\ 3 + 2 & -4 + 2 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 4/7 & 4/7 \\ -4/7 & 3/7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 15/4 & 2 \\ 5 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15/7 + 20/7 & 8/7 - 8/7 \\ -15/7 + 15/7 & -8/7 - 6/7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$

(3)

* (2)の結果から、$P^{-1}AP = D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ となる対角行列 $D$ が得られた。

したがって、$A = PDP^{-1}$

* $A^n = (PDP^{-1})^n = PDP^{-1}PDP^{-1} \cdots PDP^{-1} = PD^nP^{-1}$

$D^n = \begin{pmatrix} 5^n & 0 \\ 0 & (-2)^n \end{pmatrix}$

* $A^n = PD^nP^{-1} = \begin{pmatrix} 3/4 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5^n & 0 \\ 0 & (-2)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4/7 & 4/7 \\ -4/7 & 3/7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/4 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4\cdot 5^n /7 & 4 \cdot 5^n /7 \\ -4\cdot (-2)^n /7 & 3 \cdot (-2)^n /7 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} \frac{3 \cdot 5^n}{7} + \frac{4\cdot(-2)^n}{7} & \frac{3 \cdot 5^n}{7} - \frac{3\cdot (-2)^n}{7} \\ \frac{4 \cdot 5^n}{7} - \frac{4\cdot(-2)^n}{7} & \frac{4 \cdot 5^n}{7} + \frac{3\cdot (-2)^n}{7} \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3\cdot 5^n + 4\cdot(-2)^n & 3\cdot 5^n - 3\cdot(-2)^n \\ 4\cdot 5^n - 4\cdot(-2)^n & 4\cdot 5^n + 3\cdot(-2)^n \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 5, -2$

(2) $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$

(3) $A^n = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3\cdot 5^n + 4\cdot(-2)^n & 3\cdot 5^n - 3\cdot(-2)^n \\ 4\cdot 5^n - 4\cdot(-2)^n & 4\cdot 5^n + 3\cdot(-2)^n \end{pmatrix}$